VDS95 MATHS PEDAGOGIQUE CRPE NUMERATION

LE NOMBRE

Ce message n'a pas la prétention à être le plus complet possible. Il cherche juste à donner quelques idées pédagogiques en ce domaine.

 

     

   

L'apprentissage de la numération suppose que les élèves donnent du sens au concept « nombre », c’est‑à‑dire qu’ils soient confrontés à des problèmes que les nombres permettent de résoudre. Il faut qu’il y ait prise de conscience que les nombres permettent de résoudre les problèmes. Une élaboration dans la stratégie est en général nécessaire et se constitue d’étapes ou d’essais plus ou moins organisés.

La compréhension des nombres nécessite de l’entraînement et de la répétition. Le sens en sera facilité d’autant mieux. Pour fixer les savoir‑faire, l’entraînement est nécessaire et la phase qui rend les savoir‑faire disponibles est souvent longue, mais les connaissances sont au fil du temps élaborées, précisées, puis structurées de mieux en mieux.

Il faut à la fois axer sur l’écriture chiffrée (numération décimale) et à la fois sur le calcul mental (résultat reconstruit et – ou mémorisé, calcul réfléchi). Il est recommandé à l’enseignant de se servir des solutions personnelles (pour déboucher sur une nouvelle connaissance), plus tard, par reconnaissance et utilisation d’une procédure experte appropriée.

Exemple : l’enseignant devancera des écritures du type : « a + b », etc. Par, « pomme + cerise ».

François BOULE

Il intervient sous trois formes : sous forme verbale (noms de nombres), sous forme imagée (subitzing : perception globale du cardinal de petites collections), sous forme écrite symbolique (chiffrée).

ABSTRACTION

Le principe d’abstraction consiste à ne pas prendre en compte les caractéristiques qualitatives des objets pour les compter. Les élèves rencontrent beaucoup de difficultés à compter des objets hétérogènes s’ils ne peuvent pas attribuer un terme générique commun à tous les objets.

ADDITION

C’est une activité cardinale. Elle donne sens à des symboles, tels que : « + » et « = ». Seule la technique de l’addition est exigible en fin de cycle 2, les autres techniques devant être maîtrisées par les élèves en fin de cycle 3.

Calcul réfléchi et – ou décomposition additive : avant de connaître les tables d’addition, l’élève va trouver une méthode personnelle s’appuyant sur les propriétés de opérations. Pour calculer « 6 + 5 », il pourra faire : « 5 + 5 + 1 ».

Droite numérique

Représentation des quantités et comptage :  

 6 + 5

                           

L’élève compte.

Le surcomptage : c’est une mémorisation d’une quantité et défilé des nombres de la file numérique avec aide éventuelle des doigts (représentant les objets). Cela met en place des compétences nouvelles : 1°/ démarrer la récitation de la file numérique à partir de n’importe quel nombre, 2°/ il faut être en mesure d’indiquer le successeur immédiat ce qui est différent de faire défiler la file numérique.

 6 + 5

                       

6	7	8	9	10	11
NJ	NJJ	NJJJ	NJJJJ	NJJJJJ	NJN

Technique usuelle : cette technique consiste à poser l’opération en écrivant les deux nombres l’un en dessous de l’autre, en alignant les chiffres des unités de même ordre. Les deux erreurs les plus fréquentes concernent l’alignement des nombres et la retenue.

                 

		6
+		5
	1	1

BIJECTION

Ce principe consiste à attribuer à chaque objet un et un seul nombre.

CALCUL

Calculer est une des activités essentielles en mathématiques. Cette activité consiste à effectuer des transformations sur des objets mathématiques, selon des règles prédéfinies, en vue d’aboutir à un résultat.

1. Calcul automatisé

Il faut connaître ou reconstruire très rapidement les résultats des tables d’addition de 1 à 9 et les utiliser pour calculer la somme, la différence, le complément, ainsi que décomposer un nombre sous forme de somme. Ce calcul peut être écrit ou mental.

2. Calcul écrit ou posé

Le calcul écrit intègre des moments de calcul mental/

3. Calcul      mental

Le calcul mental est réalisé sans recourir à des traces écrites, ni instruments. Il y va de la restitution de résultats connus par cœur, aux calculs proprement dits, de sommes, produits, différences et quotients.

4. Calcul réfléchi

Organiser et traiter des calculs additifs, soustractifs, multiplicatifs sur les nombres entiers. Résoudre mentalement des problèmes à données numériques simples.

5. Calcul      instrumenté

Utilisation à bon escient d’un instrument à calcul.

CARDINAL : quantité

Deux ensembles « A » et « B » sont équipotents s’il existe une bijection de « A » sur « B ».

Mise en mémoire d’une quantité : un nombre est un bon outil pour garder la mémoire d’une quantité afin de réaliser des ensembles. Cet apprentissage est lié au développement de l’enfant et notamment à ce que des psychologues appellent la conservation des quantités (PIAGET et SZEMINSKA). Il faut mémoriser une quantité à savoir : mémoriser un mot, un symbole ce qui permet de reconstituer plus tard cette même quantité.

COMPTER

Association d’un mot à une information, mot qui désigne un cardinal ou un ordinal. C’est reconnaître une suite ordonnée appliquée bijectivement aux doigts et aux objets.

1. avec ses doigts : le      mot est attaché à un doigt particulier

COMPTINE NUMERIQUE

Réciter une suite ordonnée de mots‑nombres servant d’appui à ce qu’à partir d’un statut verbal, l’enfant évolue vers un signifiant numérique. On peut également désigner cela comme étant un comptage 1 à 1. La difficulté est de mémoriser la comptine. Mais, cette procédure est rassurante pour l’élève ce qui explique que même lorsque le nombre est imposant, il recourt toujours à cette procédure. On s’appuiera alors sur un tableau de numération ce qui permettra un groupement par 10 et il en découlera des meilleures connaissances quant à la numération.

CONCEPT

Les concepts mathématiques sont construits peu à peu par l’enfant à partir d’actions. Un concept s’acquiert d’autant plus facilement qu’on peut le rattacher à des modèles déjà assimilés. Il s’agira de partir de situations‑problèmes riches, présentant vraiment une ou plusieurs difficultés à surmonter. L’introduction de « langages » divers facilite le passage du concret vers l’abstrait. Il y a deux façons différentes pour introduire un concept.

1. Soit l’enseignant travaille      par thèmes et attend que des situations mathématiques se présent.
2. Soit l’enseignant recherche      et provoque des situations motivantes pour illustrer des objectifs fixés      préalablement.

Tableau schématisant l’acquisition d’un concept

               

Phase vécue	Manipulatoire,   déambulatoire   Corps, action, mouvement
Phase verbale	On parle de   ce que l’on fait ou de ce que l’on a fait
Phase idéographique	L’enfant   procède à des désignations, des représentations (des objets et des actions)   très proches du concret
Phase symbolique	On assiste à   des épurations successives des représentations précédentes pour arriver à des   représentations abstraites relevant des conventions établies par la classe ou   imposée par le maître

CONNAISSANCE

Toute connaissance, tout comportement relève non pas d’une mais de plusieurs expériences non pas identiques, mais isomorphes. C’est le double phénomène « assimilation » et « accomodation » par laquelle la connaissance se structure.

DECIMAL

                                                                                           

MILLIONS

MILLIERS

C

D

U

C

D

U

C

D

U

U

D

C

M

1 x 10^8

1 x 10^7

1 x 10^6

1 x 10^5

1 x 10^4

1 x 10^3

1 x 10^2

1 x 10^1

1 x 10^0

1 x 10^-1

1 x 10^-2

1 x 10^-3

1 x 10^-4

Cela est appréhendé aux cours moyens.

Diverses situations permettent à l’élève de prendre conscience de la nécessité de nouveaux nombres, tels que des longueurs non entières ou des prix.

Introduction de fractions : on pourra commencer par des fractions simples telles que « demi », « tiers », « quart », etc. On travaillera également les égalités de fraction, par exemple : 6/10 = 60/100. La compréhension d’une fraction nécessite une traduction du codage.

Erreurs courantes : une fraction ne représenterait que toujours une partir d’unité et ne pourrait donc pas être supérieure à 1.

Ecriture à virgule : pour que cette écriture soit bien comprise, l’enjeu est de déstabiliser les connaissances sur les nombres entiers.

Erreurs courantes :

Juxtaposition de deux entiers séparés par une virgule : 2,3 < 2,27, car 3 < 27, ou encore 4,2 + 3,8 = 7,10 : les entiers sont ajoutés de part et d’autre de la virgule comme s’ils étaient parfaitement indépendants les uns des autres.

Règle des zéros : la règle qui vaut pour les entiers à savoir que pour multiplier par 10, on rajoute un 0, ne vaut plus pour les décimaux. Cela donne du coup : 12,4 x 10 = 12,40…

Nombre de chiffres dans le nombre : plus le nombre a de chiffres, plus il est grand : 23,45 > 123.

Méthodes : l’enfant doit calibrer les parties décimales en mettant autant de zéro(s) nécessaire(s) avant de poser le calcul.

DENOMBREMENT

Activité qui consiste à déterminer le nombre d’objets d’une collection. Jean‑Paul FISCHER y voit 3 principes fondamentaux :

1. Principe de bijection
2. Principe de suite stable
3. Principe cardinal

Nous avons également 2 principes mineurs : principe d’ordre quelconque, principe d’abstraction.

DESTABILISATION

Toute connaissance nouvelle oblige l’élève à repenser ses savoirs dans la mesure où ses connaissances antérieures peuvent l’amener à des résultats contradictoires : exemple des règles des nombres entiers différentes concernant les nombres décimaux.

Apprendre devient alors l’occasion d’éradiquer des obstacles qui surviennent.

Phase de déstabilisation

Avec les résultats contradictoires, l’élève n’est plus en mesure de valider ses productions. Il y a donc conflit cognitif. Si ce conflit s’effectue avec des pairs de classe, on parle de conflit sociocognitif.

Source au conflit cognitif : il suffit aux « bons élèves » d’un contre‑exemple pour provoquer un questionnement. Concernant les autres, il faut davantage d’expériences personnelles pour qu’il y ait réellement apprentissage d’une connaissance nouvelle.

DEVOLUTION DU PROBLEME

Cela signifie que le problème donné à l’élève devient sien.

DIVISION

Elle est abordée au CE2 et au CM1. Elle peut s’appuyer sur une multiplication à trou, avec des multiples mémorisés. Elle se met en place lorsque les nombres sont élevés et que l’élève doit optimiser ses méthodes de calcul. C’est en jouant sur les variables didactiques comme la taille des nombres que l’on pourra amener l’élève à passer d’une procédure à une autre pour arriver à la procédure canonique.

Voir à « multiplication » pour typologie des problèmes multiplicatifs ou faisant appel à des divisions

1^ère étape (dès l’école maternelle) : la notion de partage a été manipulée dès l’école maternelle en résolution de problèmes avec un partage équitable et maximal dans le but de constituer la part la plus grande possible. L’enfant peut trouver le résultat de la division (quotient) en encadrant le dividende entre deux multiples successifs du diviseur puisque cet encadrement fournit le plus grand multiple du diviseur inférieur ou égale au dividende.

2^nd étape : le comptage, les additions ou soustractions réitérées peuvent être considérées comme une interprétation du problème très proche de l’action. L’élève se préoccupe de ce qu’il reste en faisant un bilan partiel à chaque étape. Lorsque l’élève regroupe un certain nombre de groupements ( + 7, + 7 = 2 x 7, par exemple), l’élève construit le sens de la division. Il existe une grande diversité de procédures qui peuvent être imbriquées. Selon ses compétences de calculateur et selon l’opération, l’élève privilégiera éventuellement une procédure plutôt qu’une autre.

ECRITURE DES NOMBRES

Il faut que l’enfant apprenne très vite notre numération de position. Il lui faut donc comprendre la logique d’écriture des nombres. Dès la Grande Section, les élèves apprennent à écrire des nombres, même ceux n’ayant pas encore sens pour eux.

                                         

Millions			Milliers
C	D	U	C	D	U	C	D	U

Position d’un chiffre dans un nombre : il est indispensable que les élèves comprennent que 10 unités d’un rang équivalent à 1 unité du rang immédiat supérieur. Ce travail de groupements par 10 et d’échanges commence au CP et se poursuit : entre 40 et 50, tous les nombres commencent par un « 4 » ; à 38 vient 39, dans la mesure où 9 est le successeur de 8.

Passage des dizaines : pour passer d’un nombre au nombre suivant, il faut ajouter 1 au chiffre des unités. L’élève doit prendre conscience au fil du temps du principe positionnel de la numération chiffrée.

Ajouter 1000 : il faut tout d’abord que l’élève sache ce que signifie ajouter mille. C’est ajouter 1 au chiffre des unités de mille. Il faut également savoir convertir 10 unités de mille en 1 dizaine de mille.

Difficulté entre numérations écrite et orale : le passage de la numération écrite et parlée est parfois source d’erreurs.

Numération parlée : on trouve à la fois des formulations additives (27 = 20 + 7) ; des formulations multiplicatives (80 = 4 x 20) ; et des formulations mixtes (93 = 4 x 20 + 13). Partiellement, la numération orale est partiellement une numération en base de 20.

FONCTIONS DU NOMBRE

Représentation de la quantité, principe de cardinalité (le dernier mot prononcé désigne le cardinal de la collection, indépendamment de l’ordre de position des objets entre eux)

L’enfant doit maîtriser le principe d’abstraction (ne pas tenir compte de la nature des objets à dénombrer)

MULTIPLICATION

L’apprentissage débute en CE1 avec les tables de 2 et de 5. En CE2, la technique est posée en colonne et on aborde les tables de 6, voire au‑delà. Grâce à la commutativité, le nombre de résultats à mémoriser se réduit. Les tables s’appuient sur les files numériques de 2 en 2, des doubles, de 5 en 5. Il s’agira surtout d’associer l’expression des produits aux termes de chaque file. Les difficultés principales rencontrées avec la multiplication sont dues au fait que tous les résultats des tables ne soient pas parfaitement mémorisés, difficultés également dans la gestion des retenues ou encore dans l’ordre des calculs à effectuer, difficultés de ‘décalage’ correspondant à l’existence d’un « 0 » dans un nombre comme : « 507 ».

Commutativité de la multiplication : une collection conserve le même nombre d’éléments qu’on la décrive en lignes ou en colonnes.

Règle des zéros : cette règle est mentionnée dès le CE1 – CE2. Elle est justifiée par la numération : « 27 x 10 » signifie 27 dizaines.

SENS DES OPERATIONS : typologie

Produit cartésien : il s’agit de trouver le cardinal d’un ensemble qui a une structure de produit cartésien.

« Le menu d’un restaurant propose 3 plats et 4 desserts. Combien de repas différents peut‑on composer ? »

Proportionnalité : deux grandeurs sont reliées par une relation de proportionnalité. Ces problèmes consistent à trouver, soit l’une des deux grandeurs, soit le coefficient de proportionnalité.

« Un kilo de viande coûte 65,60 €. Combien coûte 2,5 kg de cette viande ? »

Configuration rectangulaire : ces problèmes consistent à dénombrer le nombre d’objets disposés sur un quadrillage rectangulaire.

« Combien l’échiquier comporte‑t‑il de cases ? » ou « Quelle est la longueur d’un rectangle de 12 cm de largeur et d’aire 240 cm² ? »

ORDINAL : suite

On définit une suite d’ensemble à partir de l’ensemble vide. Le nombre permet par son aspect ordinal de décrire des hiérarchies et des rangements.  Cette suite forme un ensemble noté « N » qui vérifie les axiomes de PEANO :

0 est un entier naturel

Tout entier naturel a un successeur

2 entiers naturels ayant le même successeur sont égaux

0 n’est le successeur d’aucun entier naturel

ORDRE QUELCONQUE

L’ordre dans lequel on prend les objets pour les compter n’intervient pas sur le résultat du comptage. Il faut tout d’abord initialiser la collection en attribuant à un objet le nombre « 1 ». Le dernier objet de la collection est le « dernier ».

PROCEDURES ET BONNE RESOLUTION DE PROBLEME

Rémi BRISSIAUD

L'élève peut utiliser plusieurs " procédures " pour réaliser une opération mathématique. Il existe plusieurs niveaux pour arriver à solutionner un problème. Le rôle de l’école sera de rendre explicite les différentes procédures les unes aux autres afin qu’elles soient mieux utilisées par l’apprenant.

                 

Niveau I		Schématisation de la situation
Niveau   II
Niveau   III	Trouver une situation multiplicative	Haute conceptualisation

Exemples :

 

   

On répartit 252 œufs   dans des boîtes de 12. Dans combien de boites ?

     

Comptage :

       
                         

O = 252	O	O	O	O	O	O
	O	O	O	O	O	O

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

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12

L’élève dessinera les boites d’œufs pour les compter ensuite. Cette procédure devient très vite peu économique et difficile à gérer dès que les nombres deviennent plus grands. Il s’agit parfois d’entrée dans le problème qui permettent à l’élève de comprendre la situation et d’imaginer une autre procédure plus rapide.

Procédure additive

Pas à pas : elle traduit la démarche de l’élève qui simule le remplissage des boites une à une en faisant un bilan des œufs utilisés après chaque boite.

                                         

12 + 12 = 24	48 + 12 = 60	84 + 12 = 96	120 + 12 = 132	156 + 12 = 168	192 + 12 = 204	228 + 12 = 240
24 + 12 = 36	60 + 12 = 72	96 + 12 = 108	132 + 12 = 144	168 + 12 = 180	204 + 12 = 216	240 + 12 = 252
36 + 12 = 48	72 + 12 = 84	108 + 12 = 120	144 + 12 = 156	180 + 12 = 192	216 + 12 = 228

Avec regroupement : l’élève additionne un certain nombre de fois le diviseur pour s’approcher du résultat et ajuste son calcul par rapport à ce résultat. Il fait des bilans partiels jusqu’à obtenir le dividende ou soustraire un certain nombre de fois le diviseur au dividende. Il est ainsi amené à faire une hypothèse et à tester cette hypothèse.

             

12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 180	180 + 12 + 12 = 204
L’élève copte alors le nombre d’itérations et   trouve ainsi le résultat de la division.	204 + 12 = 216
	216 + 12 = 228
	228 + 12 = 240
	240 + 12 = 252

                 

12 + 12 = 24		216 + 24 = 240
24+ 24+ 24= 72		240 + 12 = 252
72 + 72 + 72 = 216

Procédure soustractive avec regroupement :

Soustractions pas à pas

                                         

252 – 12 = 240	216 – 12 = 204	180 – 12 = 168	144 – 12 = 132	108 – 12 = 96	72 – 12 = 60	36 – 12 = 24
240 – 12 = 228	204 –12 = 192	168 – 12 = 156	132 – 12 = 120	96 – 12 = 84	60 – 12 = 48	24 – 12 = 12
228 – 12 = 216	192 – 12 = 180	156 – 12 = 144	120 – 12 = 108	84 – 12 = 72	48 – 12 = 36	12 – 12 = 0

L’élève compte alors le nombre d’opérations ce qui lui donne le résultat du problème.

                       

252 – 24 = 228	180 – 24 = 156	108 – 24= 84	36 – 24 = 12
228 – 24 = 204	156 – 24 = 132	84 – 24 = 60
204 – 24 = 180	132 – 24 = 108	60 – 24 = 36	12 – 12 = 0

L’élève peut soustraire un certain nombre à la fois un multiple du diviseur au dividende, en l’occurrence on trouve le double du diviseur.

Approche par un multiple puis ajustement par addition :

           

12 x 10 = 120	252 – 120 = 132
	132 – 120 = 12
	12 – 12 = 0

Approche multiplicative puis ajustement par soustraction : un élève qui additionnerait dans le premier calcul « 25 x 12 » trouverait 300. Il lui faudrait ensuite soustraire un certain nombre de fois 12 à 300 pour retrouver 252. Le comptage du nombre d’itérations devient plus complexe. Ces procédures deviennent vite coûteuses avec des nombres assez grands. L’élève ne sait plus comment trouver le nombre de boites (surcharge cognitive) entre tous les calculs qu’il a effectués.

Procédure multiplicative :

                                         

12 x 1 = 12	12 x 4 = 48	12 x 7 = 84	12 x 10 = 120	12 x 13 = 156	12 x 16 = 192	12 x 19 = 228
12 x 2 = 24	12 x 5 = 60	12 x 8 = 96	12 x 11 = 132	12 x 14 = 168	12 x 17 = 204	12 x 20 = 240
12 x 3 = 36	12 x 6 = 72	12 x 9 = 108	12 x 12 = 144	12 x 15 = 180	12 x 18 = 216	12 x 21 = 252

L’élève écrit tous les multiples du diviseur jusqu’à ce qu’il obtienne le dividende. Ainsi, il ajuste ses calculs.

                       

12 x 10 = 120	12 x 13 = 156	12 x 16 = 192	12 x 19 = 228
12 x 11 = 132	12 x 14 = 168	12 x 17 = 204	12 x 20 = 240
12 x 12 = 144	12 x 15 = 180	12 x 18 = 216	12 x 21 = 252

L’élève commence à partir d’un multiple facile à trouver.

     

 

12 x 10 = 120

 

 

12 x 20 = 240

 

 

12 x 21 = 252

 

L’élève peut également essayer différents multiples sans tous les écrire. Cette procédure allège la charge de calcul et devient plus efficace lorsque l’élève a l’idée d’utiliser des multiples de 10, et plus tard dans sa scolarité des multiples de 100, 1000, etc. C’est une procédure qui constitue une amélioration des procédures précédentes, l’élève utilisant le plus souvent un résultat mentalement correspondant au remplissage de plusieurs boites. L’efficacité de cette procédure dépend à la fois de la qualité de l’approximation effectuée au départ et des ajustements successifs en fonction de l’écart du résultat obtenu avec le nombre cible qu’est le dividende. Elle conduit souvent à la réussite, car moins sensible que d’autres à la taille des nombres en présence.

Procédure canonique : l’élève identifie qu’il faut poser une division. Il la pose et l’effectue. On retrouve différentes techniques selon l’aptitude de l’élève.

Procédure mixte : l’élève reconnaît et sait poser la division mais, ne sachant pas la faire de façon experte, cherche des multiples du diviseur.

                                       

12 x 2 = 24		252	12
12 x 3 = 36		- 228	21
12 x 4 = 48		24
12 x 5 = 60		- 24
		0

Procédure experte :

           

252	12
24	21
0

                                         

Doubles					Sens des opérations
Commutativité de l’addition		Multiples mémorisés		Effectuer des groupements
Compléments à la dizaine		Compter mentalement des groupes   de 4
Comptage de 1 à 1 (travail sur la notion de prédécesseur   et de successeur)				Echanges par dizaines et centaine
Comptage de 10 en 10, 100 en 100 (en avant et en arrière   à partir de n’importe quel nombre)
Déterminer la valeur des chiffres en fonction de leur   position dans l’écriture décimale d’un nombre
Comparer, ranger et encadrer des nombres

FAYOL, ABDI & GOMBERT : compréhension du texte ?

Ils ont mis en évidence qu’une mauvaise compréhension du problème engendre trop souvent une mauvaise résolution du problème, même si le sens des opérations est précocement bien acquis.

Roland CHARNAY : attitude du « chercheur »

1. Faire expliciter le cheminement (entretien      d'explicitation sur " comment " plutôt que sur " pourquoi      ", afin de voir si l'élève évoque une règle ou une "      connaissance en acte "
2. Essayer de comprendre      (faire des hypothèses sur les origines de son cheminement, le référer à un      cadre interprétatif théorique
3. Aider l'élève à prendre      conscience de son processus (ne pas le      centrer uniquement sur la réponse, le faire expliciter à d'autres)
4. Aider à prendre      conscience de l'existence d'autres processus possibles      (explicitations mutuelles, formulations orales ou écrites)
5. Provoquer des conflits      socio-cognitifs (pointer les idées opposées, les mettre en      débat, inciter à la recherche d'une vérité, indépendante de l'adulte)
6. Provoquer des conflits      cognitifs (situation problème, validation indépendante du      maître)

PROPORTIONNALITE

Cycle 3 :

Aucune technicité dans les notions de vitesse moyenne, d’échelle et de pourcentage n’est recommandée, faisant l’objet du collège. En règle générale, les compétences en ce domaine sont en cours d’acquisition.

Difficultés rencontrées :

Utilisation d’une procédure additive au lieu d’opter pour un coefficient multiplicatif

Impossible trouvaille du coefficient multiplicatif

REPRESENTATIONS MENTALES

Les différents usages des nombres (comptage, dénombrement, calcul, etc.) font intervenir des évocations mentales. Ces représentations internes évoluent et se diversifient à mesure que s'étendent les connaissances sur les nombres. L'objet de ce qui suit est de recenser ces différents types de représentations et leur usage. Le développement d'une représentation nouvelle se conjugue avec les précédentes, sans les remplacer, ni se juxtaposer exactement.

SERIATION

Mise en ordre des collections en fonction de propriété

SOUSTRACTION

L’élève doit décompter ou compter à rebours. Il mémorise la position initiale pour trouver le ou les prédecesseur(s) immédiat(s) pour chacun des nombres.

68 - 45

Dessin : le problème est que plus les nombres sont élevés, moins ces méthodes sont fiables.

                                                                                                                                                       

Droite numérique :

Décomptage

Recherche du complément (addition à trou) : cela prend appui sur des résultats mémorisés de l’addition en cela qu’elle peut être de la forme d’une addition à trou, c’est la recherche du complément : « 45 + ___ = 68 »

Retraits successifs : la soustraction peut être obtenue par des retraits successifs basés sur la décomposition d’un nombre en dizaines et en unités.

Calcul réfléchi : l’élève fait « 68 – 40 » : soit 28. Puis, « 28 – 5 ».

Technique usuelle : la technique opératoire de la soustraction est considérée comme étant complexe. Le positionnement et la gestion des retenues sont sources fréquentes d’erreurs.

                                                           

		1
	3		4		5
		1
-			2		8
	3		1		7

Propriété des différences égales : lorsque dans la soustraction posée en colonnes, on ajoute dix unités pour en retirer une au rang supérieur, on utilise une technique basée sur la propriété des différences égales ce qui ne modifie en rien le résultat obtenu. Le positionnement des nombres et la gestion des retenues sont sources fréquentes d’erreurs.

Erreurs

Retenues : certains élèves ont des procédures erronées qui consistent, unité par unité à soustraire la plus petite unité à la plus grande.

SUITE

Suite stable : principe consistant à utiliser les mêmes mots‑nombres dans le même ordre lors de tous les différents comptages.

SYMBOLE

La fonction symbolique se développe chez l’enfant à partir de deux ans environ. Elle permet d’évoquer le signifié (objet, action, sentiment, concept, etc.) à partir d’un signifiant (mot, geste, image, dessin, etc.). Elle naît de la nécessité de communiquer, mais aussi de garder une trace d’actions. Le symbolisme se construit à partir de jeux, elle se développe par imitation et grâce au langage. Toute notion nouvelle est intégrée dans les schèmes antérieurs (phénomène d’assimilation), mais en même temps il faut accomoder ses schèmes (phénomène d’accomodation).